Magnetno polje v ravnini kratke tuljave (krozne tokovne zanke)

Vhodni podatki

Permeabilnost praznega prostora:

μ0=4*π*(10^(-7));

Podatki kratke tuljave (krozne tokovne zanke)

Polmer tuljave, stevilo ovojev in tok v ovojih:

r0=0.15;
N0=100;
I0=1;

Izbira koordinatnega sistema

Izberimo kartezicni koordinatni sistem tako, da z-os sovpada z osjo zanke, koordinatno izhodisce pa s srediscem zanke.

Izracun polja - prvi nacin

Vektor gostote magnetnega pretoka v ravnini zanke dolocimo z uporabo Biot-Savartovega zakona, pri cemer integracijo nadomestimo s koncno vsoto.

Segmentiranje tokovne zanke

Krozno tokovno zanko razdelimo na kratke (enako dolge) tokovne segmente. V bistvu krozno tokovno zanko aproksimiramo s pravilnim veckotnikom, cigar stranice so kratki tokovni segmenti.

Stevilo tokovnih segmentov:

Nφ=100;

Kot, pod katerim se vidi en tokovni segment iz sredisca zanke:

Δφ=((2 π)/(Nφ));

Tabela vrednosti polarnega kota (druge polarne koordinate) (v srediscih) posameznih tokovnih segmentov:

φi=Table[(i-1) Δφ,{i,1,Nφ}];

Smernik (splosnega) tokovnega segmenta kot funkcija njegovega polarnega kota:

eΔl[φ_]:={-Sin[φ],Cos[φ],0}

Vektor (dolzine) (splosnega) segmenta toka kot funkcija njegovega polarnega kota:

Δl[φ_]:=r0 Δφ eΔl[φ]

Krajevni vektor (splosnega) segmenta toka kot funkcija njegovega polarnega kota:

rΔl[φ_]:={r0 Cos[φ],r0 Sin[φ],0}

Krajevni vektor opazovane tocke ter distancni vektor med tokovnim segmentom in to tocko

Krajevni vektor (splosne) tocke v ravnini zanke, v kateri izrazamo polje, kot funkcija koordinat te tocke:

rT[x_,y_]:={x,y,0}

Distancni vektor med (splosnim) segmentom toka in (splosno) tocko v ravnini zanke, v kateri izrazamo polje, ter absolutna vrednost tega vektorja:

R[x_,y_,φ_]:=rT[x,y]-rΔl[φ]

absR[x_,y_,φ_]:=Norm[R[x,y,φ]]

Prispevki posameznih tokovnih segmentov k polju ter suma teh prispevkov

Prispevek i-tega segmenta toka k vektorju gostote magnetnega pretoka v splosni tocki v ravnini zanke (Biot-Savartov zakon):

ΔB[i_,x_,y_]:=If[absR[x,y,φi[[i]]]≠0,((μ0 N0 I0)/(4 π)) Δl[φi[[i]]]\[Cross]R[x,y,φi[[i]]]/((absR[x,y,φi[[i]]])^3),0]

Vektor gostote magnetnega pretoka v splosni tocki v ravnini zanke (vsota prispevkov posameznih tokovnih segmentov):

B[x_,y_]:=(∑_(i=1)^(Nφ))ΔB[i,x,y]

Komponenta z (3. komponenta) vektorja gostote magnetnega pretoka v splosni tocki v ravnini zanke:

Bz[x_,y_]:=Part[B[x,y],3]

Primer izracuna polja

Izbira koordinat tocke, kjer racunamo polje:

x0=5*(10^(-2));
y0=3*(10^(-2));

Vektor gostote magnetnega pretoka v tej tocki ter njegova (edina ne nicelna) z-komponenta:

B[x0,y0]

Bz[x0,y0]

Izracun polja - drugi nacin

Vektor gostote magnetnega pretoka v ravnini zanke dolocimo z uporabo Biot-Savartovega zakona, pri cemer integracijo izvedemo numericno.

Tokovni elementi

Krozno tokovno zanko razdelimo na tokovne elemente - diferencialno kratke segmente.

Krajevni vektor (splosnega) elementa toka kot funkcija njegovega polarnega kota (druge polarne koordinate):

rdl[φ_]:={r0 Cos[φ],r0 Sin[φ],0}

Smernik (splosnega) tokovnega elementa kot funkcija njegovega polarnega kota:

edl[φ_]:={-Sin[φ],Cos[φ],0}

Dolzine tokovnih elementov so diferencialno majhne: dl =  (Subscript[r, 0]) dφ.

Krajevni vektor opazovane tocke ter distancni vektor med tokovnim elementom in to tocko

Krajevni vektor (splosne) tocke v ravnini zanke, v kateri izrazamo polje, kot funkcija koordinat te tocke:

rT[x_,y_]:={x,y,0}

Distancni vektor med (splosnim) elementom toka in (splosno) tocko v ravnini zanke, v kateri izrazamo polje, ter absolutna vrednost tega vektorja:

R[x_,y_,φ_]:=rT[x,y]-rdl[φ]

absR[x_,y_,φ_]:=Norm[R[x,y,φ]]

Numericna integracija prispevkov posameznih tokovnih elementov k polju

Vektor gostote magnetnega pretoka v splosni tocki v ravnini zanke:

B2[x_,y_]:=If[(Sqrt[(x^2)+(y^2)])≠r0,((μ0 N0 I0)/(4 π)) (∫_0^(2 π))((edl[φ]\[Cross]R[x,y,φ])/((absR[x,y,φ])^3))r0 \[DifferentialD]φ,0]

Komponenta z (3. komponenta) vektorja gostote magnetnega pretoka v splosni tocki v ravnini zanke:

B2z[x_,y_]:=Part[B2[x,y],3]

Primer izracuna polja

Izbira koordinat tocke, kjer racunamo polje:

x0=5*(10^(-2));
y0=3*(10^(-2));

Komponenta z (edina ne nicelna komponenta) vektorja gostote magnetnega pretoka v tej tocki:

B2z[x0,y0]

V razmislek

Na oba nacina izracunajte magnetno polje v vecih tockah v ravnini krozne tokovne zanke in primerjajte dobljene rezultate. Vecinoma se rezultati zelo dobro ujemajo, razen v ozjem obmocju, kjer je razhajanje rezultatov precejsnje. Katero je to obmocje? Kateri od dveh nacinov izracuna polja daje v tem obmocju napacne rezultate in zakaj? Kako lahko izboljsamo te rezultate? Razmislite, kaj so prednosti, kaj pa pomanjkljivosti posameznega nacina izracuna polja.