OSNOVE ELEKTROTEHNIKE s programom MATLAB

 

1. Coulombov zakon

Sila med elektrinama je usmerjena vzdolž premice na kateri se nahajata elektrini. Spreminja se inverzno proporcionalno s kvadratom razdalje med elektrinama in je proporcionalna velikosti obeh elektrin:

\* MERGEFORMAT (.)01

kjer je enotin vektor v smeri od elektrine Q1 do Q2. Če je elektrin več, je sila na elektrino (vektorska) vsota prispevkov posameznih elektrin (superpozicija!).

Naloga 1.1: Elektrina Q1=200 m C se nahaja v središču koordinatnega sistema P(0,0,0)m. S kolikšno silo deluje na elektrino Q2=-300 m C, ki se nahaja v točki P2(1,3,4) cm?

Q1=20e-6; %komentar

Q2=-30e-6 % če vrstice ne zaključimo z znakom";", se izpiše rezultat

e0=8.854e-12; % dielektričnost vakuuma

k=1/(4*pi*e0);

Q2 =

-3.0000e-005

r1=[0, 0, 0]; %vrstični vektor

r2=[1,3,2]*1e-2;

r21=r2-r1; % vektor, ki kaže od vektorja r1 proti vektorju r2

Abs_r21=sqrt(r21*r21'); % absolutna vrednost vektorja r21 dobimo z množenjem vektorja r21 s transponiranim vektorjem r21'

er21=r21/Abs_r21 % normalni vektorj v smeri r21

er21 =

0.2673 0.8018 0.5345

F21=k*Q1*Q2*er21/Abs_r21^2 % sila na elektrino Q2

Abs_F21=sqrt(F21*F21')

Abs_F21 =

3.8519e+003

F21 =

1.0e+003 *

-1.0295 -3.0884 -2.0589

Vprašanja:

a) V katero smer kaže sila na elektrino?

b) V kateri smeri je največja sila?

c) Koliko je absolutna vrednost sile (enote!)?

d) Koliko prostih elektronov vsebujeta Q1 in O2?

 

Naloga 1.2: Poleg dveh elektrin iz naloge 1 imamo še elektrino Q3=100 m C na mestu P3(-1,0,2)cm. Vsota vseh treh elektrin je enaka 0, kar zaključuje sistem elektrin. Ponovno izračunajte silo na elektrino Q2!

Ker smo silo Q1 na Q2 že izračunali, izračunamo le še prispevek elektrine Q3 in prispevka seštejemo:

Q3=100e-6;

r3=[-1,0,2]*1e-2;

r23=r2-r3

Abs_r23=sqrt(r23*r23');

er23=r23/Abs_r23;

F23=k*Q1*Q2*er23/Abs_r23^2 % sila na elektrino Q2

Abs_F23=sqrt(F23*F23')

F2=F21+F23 % celotna sila na elektrino Q2

 

r23 =

0.0200 0.0300 0

F23 =

1.0e+003 *

-2.3010 -3.4515 0

Abs_F23 =

4.1482e+003

F2 =

1.0e+003 *

-3.3305 -6.5399 -2.0589

Vprašanja:

  1. Katera sila je večja, F21 ali F23 in zakaj?
  2. * Kako bi izračunali silo na elektrino v primeru 10-ih elektrin?
  3. ** Kam bi morali postaviti elektrino Q3, da bi bila sila nanjo enaka nič?

 

Naloga 1.3 Določite silo na elektrino Q1 iz naloge 1.1!

Naloga 1.4 Določite silo na elektrino Q1 iz naloge 1.2!

Naloga 1.5 Elektrinam v nalogi 1.2 poljubno spreminjamo predznak. Kdaj bo sila na elektrino Q3 največja in kdaj najmanjša in koliko bo?

 

2. Električno polje

Električno poljsko jakost definiramo kot silo na enoto poskusne elektrine q:

. V tem smislu lahko izračunamo električno poljsko jakost povsod v prostoru, kjer se nahajajo elektrine. V prostoru N točkastih elektrin je električna poljska jakost na mestu določenim z vektorjem ri vsota prispevkov vseh elektrin:

 

Naloga 2.1 V prostoru imamo elektrini Q1=2 pC v točki P1(1,1,1)mm in Q2=-2 pC v točki P2(-2,-1,3) cm. Koliko je električna poljska jakost v središču koordinatnega sistema?

 

 

Q1=2e-12;

Q2=-2e-12;

e0=8.854e-12;

r0=[0,0,0];

r1=[1, 1, 1]*1e-2;

r2=[-2,-1,3]*1e-2;

% tvorimo vektor, ki kaže od točke P2 (vektor r2) proti točki središču k.s. (vektor r0)

r20=r0-r2;

r10=r1-r0;

Abs_r20=sqrt(r20*r20');

er20=r20/Abs_r20;

Abs_r10=sqrt(r10*r10');

er10=r10/Abs_r10;

E20=k*Q2*er20/Abs_r20^2 % polje zaradi elektrine Q2

E10=k*Q1*er10/Abs_r10^2 % polje zaradi elektrine Q1

E0=E20+E10

Abs_E0=sqrt(E0*E0')

E20 =

6.8631 3.4315 -10.2946

E10 =

34.5938 34.5938 34.5938

E0 =

41.4569 38.0254 24.2992

Abs_E0 =

61.2785

 

Naloga 2.2: Določite električno poljsko jakost na mestu P4(1,1,1)cm za elektrine iz naloge 1.2!

Naloga 2.3: Elektrini Q1=1 C in Q2=-3 m C sta razmaknjeni za 12 cm in se nahajata vzdolž x osi. Izriši električno poljsko jakost vzdolž x osi!

clear all

Q1=1e-6;

Q2=-3e-6;

e0=8.854e-12;

k=1/(4*pi*e0);

X=(-5:0.5:20)*1e-2; % koordinate x osi

% Q1 postavimo v koord. izhodišce, Q2 pa 12 cm stran v smeri poz. x osi

E1=k*Q1*X./X.^3; % operator za deljenje vektorja je "./"

XT=12*1e-2*ones(1,length(X)); %vektor z vrednostmi pozicije lektrine Q2

Xraz=X-XT;

E2=k*Q2*Xraz./Xraz.^3;

E=E1+E2;

plot(X,E1,X,E2,X,E,'o')

xlabel('X os [cm]');

ylabel('E1, E2 in E1+E2 [V/m]');

% Če želimo izpisati točno lego:

a=find(E<0);

x=int2str(1e3*X(a(1)));

answer=['Polje je nic pri X='x ' mm!'];

 

 

Naloga 2.4: Določite in izrišite električno poljsko jakost vzdolž osi x (y=0,z=0) od x=-3cm do x=3cm s korakom dx=0.5cm za elektrine iz naloge 2.1!

Zapišemo vektor X, ki vsebuje koordinate, kjer želimo računati polje in celotnega v matriko P:

clear all

Q1=2e-12;

Q2=-2e-12;

e0=8.854e-12;

k=1/(4*pi*e0);

r1=[1, 1, 1]*1e-2;

r2=[-2,-1,3]*1e-2;

X=[-3:0.1:3]*1e-2;

len=length(X);

Y=zeros(1,len);

Z=Y;

P=[X' Y' Z']; %tvorimo matriko s koordinatami tock P(x,y,z)

P(1,:); % tako zapišemo prvi vektor

for i=1:len

RP1(i,:)=(P(i,:)-r1);

ERP1(i,:)=k*Q1*RP1(i,:)/(RP1(i,:)*RP1(i,:)')^3;

RP2(i,:)=(P(i,:)-r2);

ERP2(i,:)=k*Q2*RP2(i,:)/(RP2(i,:)*RP2(i,:)')^3;

end

ERP1(:,1); % x komponenta polja, ki ga povzroča elektrina Q2

ERP2(:,1); % x komponenta polja, ki ga povzroča elektrina Q2

E=ERP1 + ERP2;

for i=1:len

Eabs(i)=sqrt(E(i,1)^2+E(i,2)^2+E(i,3)^2);

end

Eabs;

 

subplot(2,1,1),plot(X,E(:,3))

grid on;

xlabel(' x [m]');

ylabel('Ex [V/m]');

subplot(2,1,2),plot(X,Eabs)

grid on;

xlabel(' x [m]');

ylabel('AbsE [V/m]');

Vprašanja:

  1. Poskušajte si predstavljati, kako bi se spreminjala Ez po x osi? Skicirajte in potem preverite tako, da namesto plota E(:,1) uporabite E(:,3)!
  2. Kako bi se spreminjal Ez, če bi bila elektrina Q2 na mestu P2(-2,-1,1)?
  3. Ker je prostorska predstavitev vektorskega polja v treh dimenzijah težka, poskusite skucirati električno poljsko jakost če gledamo le dve dimenziji. Naj bosta točki P1(1,0,1) in P2(-1,0,-1). V tem primeru ležita točki le v (x,z) ravnini, torej je tudi električna poljska jakot v smeri y enaka nič. Kako se sedaj spreminja polje Ez in Ex po oseh x in z?
  4. Kakšno bi bilo polje Ez(x,y=z=0), Če bi bila elektrina Q1=10e-12 C?

 

 

Naloga 2.5: Izrišite 3D graf električne poljske jakosti za elektrino Q1=5e-12 C postavljeno na mestu P1(1,2)cm. Izrišite polje v območju (0,0) do (4,4)cm!

 

 

clear all

Q1=5e-12;

e0=8.854e-12;

k=1/(4*pi*e0);

r1=[1, 2]*1e-2;

dx=0.5e-3;dy=0.5e-3; maxx=4e-2;maxy=4e-2;

x=0:dx:maxx; y=0:dy:maxy;

[X,Y]=meshgrid(0:dx:maxx,0:dy:maxy);

 

for i=1:1:length(x)

for j=1:1:length(y)

p1x=r1(1,1)-x(i);

p1y=r1(1,2)-y(j);

psqr=sqrt(p1x^2+p1y^2);

if psqr==0

psqr=1e-10;

end

E1x(i,j)=k*Q1*p1x/psqr^3;

E1y(i,j)=k*Q1*p1y/psqr^3;

end

end

Eabs=(sqrt(E1x.^2+E1y.^2));

Emax=max(max(Eabs));

[i,j]=find(Eabs==0);

Eabs(i,j)=Emax;

figure,mesh(Eabs)

 

 

Naloga 2.6: Izriši 3D graf in konture električne poljske jakosti za elektrine Q1=5e-12 C, Q2=-2e-12 C in Q3=-3e-12C, na mestu P1(1,2) cm, P2 (2,3) cm in P3(1,1). Izriši konture polja na x-y ravnini v območju (0,0) do (3,3)cm!

clear all

Q=[5e-12,-2e-12,-3e-12];

e0=8.854e-12;

k=1/(4*pi*e0);

R=1e-2*[1, 2;2,2;1,1];

% KORAK VZDOLZ X IN Y OSI TER MAX X IN Y

dx=0.5e-3;dy=0.5e-3; maxx=3e-2;maxy=3e-2;

x=0:dx:maxx; y=0:dy:maxy;

¸% MREŽA NA X-Y RAVNINI, KJER BOMO IZRISALI POLJE

[X,Y]=meshgrid(0:dx:maxx,0:dy:maxy);

N=length(Q);

% MATRIKA VREDNOSTI POLJA JE V ZAČETKU PRAZNA (ENAKA NIČ)

E1x=zeros(length(x),length(x));

E1y=E1x;

% ZA VSAKO TOČKO V MREŽI DOLOČIMO X IN Y KOMPONENTO POLJA

for i=1:1:length(x)

for j=1:1:length(y)

for k=1:1:N

p1x=R(k,1)-x(i);

p1y=R(k,2)-y(j);

psqr=sqrt(p1x.^2+p1y.^2);

%if psqr==0

% psqr=1e-4;

%end

E1x(i,j)=E1x(i,j)+k*Q(k)*p1x/psqr^3;

E1y(i,j)=E1y(i,j)+k*Q(k)*p1y/psqr^3;

end

end

end

% DOLOČIMO MATRIKO ABSOLUTNIH VREDNOSTI POLJA IN POIŠČEMO MAX POLJE

Eabs=(sqrt(E1x.^2+E1y.^2));

Emax=max(max(Eabs));

%figure,surf((E1x)),colormap hot

figure,contourf(X,Y,Eabs), colorbar

 

Naloga 2.7: Določite električno poljsko jakost dipola ter rezultat primerjajte z analitičnim vzdolž osi dipola!

 

Naloga 2.8: Izračunajte in izrišite polje in potencial med koncentričnima prevodnima valjema (koaksialni kabel) z notranjim polmerom rn=1 mm in zunanjim polmerom rz=3mm, če je med njima priključena napetost 25V.

Vprašanja:

    1. V kakšnem razmerju je maksimalna el. poljska jakost za dva koncentrična prevodna valja in dve ravnini, če je med prevodnima ploskvama obeh elementov enaka napetost?
    2. V kakšnem razmerju sta napetosti, če je med elementoma enako maksimalno polje?
    3. Izrišite ekvipotencialne ploskve in silnice električnega polja! Pomoč: krog izrišeš kot plot(sin(x),cos(x)), kjer gre x od 0 do 2*pi.
    4. kolikšen sme biti najmanjši in največji polmer notranjega valja, da ne pride do preboja pri prebojni trdnosti zraka 2,1kV/mm? Pomoč: dobimo transcendentno enačbo, ki jo lahko rešimo tabelarično, grafično ali numerično.
    5. Kolikšna je ploskovna gostota na manjšem in na večjem valju?

 

Naloga 2.9: Za iste vrednsti radijev in napetosti le tokrat v primeru krogelnega kondenzatorja izračunaj in določi polje in potencial ter odgovori na vprašanja! Dodatno: na grafu prikaži polje in potencial za ravni (ploščni), cilindrični in krogeljni kondenzator!